On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de \(E\) de dérivation : \(D(f) = f'\).
1
Montrer qu’il n’existe aucune norme sur \(E\) pour laquelle \(D\) soit continu (considérer \(x \mapsto e^{\alpha x}\)).
2
Soit \(F\) le sous-ev de \(E\) constitué des fonctions polynomiales. Trouver une norme sur \(F\) pour laquelle \(D_{|F}\) est continu.