Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Probabilités
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Cette section, qui a vocation à interagir avec l’ensemble du programme, a pour objectif de donner aux étudiants une bonne pratique des variables aléatoires dans le cadre fini.
Pour enrichir la pratique de la modélisation probabiliste développée au lycée, on met en évidence qu’une situation probabiliste finie peut être décrite par un $n$-uplet de variables aléatoires, l’univers étant vu dans cette optique comme une source suffisante d’aléa. L’objectif de cette présentation est de pouvoir travailler le plus tôt possible avec des événements construits en termes de variables aléatoires. La construction d’un univers fini susceptible de porter un $n$-uplet de variables aléatoires peut être présentée, mais ne constitue pas un objectif du programme.
Les exemples et activités proposés sont de nature plus conceptuelle qu’au lycée. On pourra faire travailler les étudiants sur des marches aléatoires ou des chaînes de Markov en temps fini, sur des permutations aléatoires (loi uniforme sur $S_n$), des graphes aléatoires, des inégalités de concentration…
Le programme de probabilités de première année s’achève sur une approche non asymptotique de la loi faible des grands nombres qui justifie l’approche fréquentiste des probabilités.
Simulation et classement sur tableur
Simuler 200 tirages indépendants avec remise d’un élève parmi 13, chaque élève ayant la même probabilité. Représenter la répartition des résultats. ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Sur-réservation d'un vol
Pour des raisons de rentabilité, le vol Océanic \(815\) reliant Sydney à Los Angeles a été sur-réservé. Il y a ...
Surbooking
Pour un vol aérien, il arrive fréquemment que le nombre de réservations soit supérieur au nombre passagers présents dans l’avion. Pour compenser ce ...
Surbooking militaire
Lors d’une opération de transport aérien stratégique, un avion militaire peut transporter au maximum 300 soldats. Pour optimiser l’utilisation des ...
Taille dans une population et probabilités
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire ...
Temps d'attente
Le temps d’attente à une caisse de supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire \(T\) qui suit une lo ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...
Tirage complet d'une urne
Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Une suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Urne et variable aléatoire
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10€, si el ...
Urnes, boules et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
...Étude d'un gain
On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on pert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit ...