Programme de mathématiques PT
f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Point critique d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. Extremum local, extremum global. Si une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ admet un extremum local en un point, alors celui-ci est un point critique. | |
Matrice hessienne en un point $a$ d’une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notation $H_f(a)$. |
Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 pour une fonction de deux variables de classe $\mathscr{C}^2$. | La démonstration est hors programme. |
Nature d’un point critique. | Classification à l’aide du déterminant et de la trace de la matrice hessienne. Exemples de recherche de maximums ou minimums locaux, de points cols. Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$. |
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...