Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 3 – Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition de $\cos(\theta)$, $\sin(\theta)$ et $\tan(\theta)$. | |
Périodicité et symétries. | On fait le lien avec les symétries agissant sur le cercle trigonométrique. |
Formules de trigonométrie : Formules découlant des symétries de $\cos$, $\sin$ et $\tan$. | |
$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$. $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$ $\sin(\alpha \pm b) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$ $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$ $\phantom{\cos(2\theta)} = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$ $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ | Les autres formules de trigonométrie ne sont pas des attendus du programme. |
Résolution d’équations trigonométriques simples : $\cos(x) = c$, $\sin(x) = s$ et $\tan(x) = t$. Notations arcccos, arcsin, arctan. | On introduit les notations arccos, arcsin et arctan en donnant les définitions correspondantes en termes de solutions d’équations dans certains intervalles et en admettant l’existence et l’unicité de ces solutions. La fonction arctangente sera construite dans Analyse 6. La construction des fonctions arccosinus et arcsininus n’est pas un attendu du programme. |
Transformation de $a\cos(\theta) + b\sin(\theta)$ en $r\cos(\theta + \varphi)$. Résolution de $a\cos(\varphi) + b\sin(\varphi) = c$. | La méthode (analytique, géométrique voire, ultérieurement, complexe) n’est pas imposée. ⇌ On fait le lien avec diverses situations rencontrées en sciences physiques. |
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Écrire sous forme d’expression algébrique
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Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
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Simplifier les expressions suivantes : ...
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Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 777
Résoudre l’équation \(\tan (3 \arcsin x) = 1\). On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 84
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : ...
exo7 85
Calculer \(\sin (25 \pi/3), \cos (19 \pi/4), \tan (37 \pi/6).\)
exo7 86
Résoudre l’équation : \(2\sin^2x-3\sin x-2=0\), puis l’inéquation : ...
exo7 87
Etudier le signe de la fonction donnée par \(f(x)=\cos 3x+\cos 5x.\)
exo7 88
Simplifier, suivant la valeur de \(x\in [-\pi,\pi]\), l’expression ...
exo7 89
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: (donner les valeurs des solutions appartenant à ...
exo7 90
A quelle condition sur le réel \(m\) l’équation \(\sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=m\) a-t ...
exo7 91
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes: ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 92
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: