Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Polynômes, règles de calcul.
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Retour sur les polynômes réels : notation $X$ pour l’application $x\mapsto x$ et réécriture d’un polynôme avec cette notation. | On remarque que les règles de calcul avec $X$ prolongent les règles de calculs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. |
On introduit les polynômes à coefficients dans $\mathbb{C}$. Notation $X$ pour l’application $x\mapsto x$. Les opérations usuelles (combinaison linéaire, produit, composée) sur les polynômes fournissent des polynômes. | |
Unicité de l’écriture des polynômes : un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls. | En conséquence, deux polynômes sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients. |
Coefficient dominant et degré d’un polynôme. | On convient que le polynôme nul est de degré $-\infty$. |
Degré d’une somme, d’un produit de polynômes. Notations $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{C}[X]$, $\mathbb{R}_n[X]$, $\mathbb{C}_n[X]$. |
exo7 2279
Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5822
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7337
Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...
exo7 7339
Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...
exo7 7341
Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...