Programme de mathématiques MP, MPI
a) Normes et espaces vectoriels normés
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Structure d’espace vectoriel normé. | Vecteurs unitaires. |
Distance associée à une norme. | Inégalité triangulaire. |
Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules. | On introduit à cette occasion la notion de partie convexe d’un espace vectoriel réel. |
Parties, suites, fonctions bornées. Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel. Normes $\lVert\ \rVert_1$, $\lVert\ \rVert_2$, $\lVert\ \rVert_\infty$ sur $\mathbb{K}^n$. | |
Norme de la convergence uniforme sur l’espace des fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Notation $\lVert\ \rVert_\infty$. Pour les applications pratiques, on peut utiliser sans justification l’égalité $\sup(kA)=k\sup(A)$ pour $A$ partie non vide de $\mathbb{R}$ et $k\in\mathbb{R}^+$. |
Normes de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l’espace des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles ou complexes. | Notations $\lVert\ \rVert_1$ et $\lVert\ \rVert_2$. |
Produit fini d’espaces vectoriels normés. |
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 6056
Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.
Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application ...
exo7 6057
On considère dans \({\Rr}^2\), les deux applications ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...