Programme de mathématiques MP, MPI
Variables aléatoires discrètes
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Cette section généralise aux variables aléatoires discrètes l’étude menée en première année des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. Cette généralisation nécessite d’introduire des notions générales de théorie des probabilités, lesquelles font l’objet d’un exposé a minima. En particulier :
- la notion de tribu, introduite pour donner un cadre rigoureux, n’appelle aucun développement théorique ;
- la construction d’espaces probabilisés n’est pas un objectif du programme ;
- les diverses notions de convergence (presque sûre, en probabilité, en loi) sont hors programme.
La théorie des familles sommables permet une extension très naturelle des notions et résultats vus en première année. Cette extension est effectuée rapidement, de manière à libérer du temps pour les exemples et exercices. L’objectif de l’enseignement est en effet de renforcer la compréhension de l’aléatoire, en lien avec d’autres parties du programme. On pourra ainsi faire travailler les étudiants sur divers objets aléatoires (permutations, graphes, matrices...) les inégalités de concentration et des exemples de processus à temps discret (marches aléatoires, chaînes de Markov...).
La notion de variable à densité est hors programme.
La notion d’espérance conditionnelle est hors programme.
- a) Ensembles dénombrables 6
- b) Espaces probabilisés 6
- c) Probabilités conditionnelles et indépendance 45
- d) Espaces probabilisés discrets 0
- e) Variables aléatoires discrètes 1
- f) Variables aléatoires indépendantes 0
- g) Lois usuelles 17
- h) Espérance d’une variable aléatoire réelle ou complexe 1
- i) Variance d’une variable aléatoire réelle, écart type et covariance 0
- j) Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres 1
- k) Fonctions génératrices 0
exo7 6947
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
exo7 6949
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Cal ...
exo7 6954
On considère un cercle. On choisit une corde au hasard et on cherche la probabilité pour que cette corde passe à l’intérieur d’un triangle équilaté ...
Fonction de répartition, démonstration de cours
Soit \(F\) la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X\) quelconque. ...
Fréquence d’arrivées logistiques
L’observation a permis d’affirmer que le nombre de camions de ravitaillement arrivant à un poste logistique entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poi ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Inégalités et loi de Poisson
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\) ...
Loi d'un couple
On considère un fast food muni de \(N\) comptoirs. Le nombre de personnes se présentant en une heure au fast food ...
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Loi de Poisson
Une population de 80 personnes comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1,90m. Soit une population ...
Loi de Poisson et TCL
On modélise le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique par une variable \(B\) sui ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi exponentielle et loi géométrique
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Loi géométrique
On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...
Loi géométrique
On note \(p \in ]0;1[\) et \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométriq ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Lois usuelles
Un standard téléphonique est, en moyenne, occupé 6 fois sur 10. Soit \(X\) le nombre de tentatives nécessaires pou ...
Probabilité conditionnelle et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
...Problème de clés
Reconnaître une loi usuelle et ses paramètres
Pour chaque situation, indiquer la loi de probabilité la plus adaptée et préciser ses paramètres. On justifiera brièvement chaque réponse.
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...