Programme de mathématiques MP, MPI
e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $X$ est une partie de $E$ et $x$ un point de $X$, un vecteur $v$ de $E$ est tangent à $X$ en $x$ s’il existe $\varepsilon>0$ et un arc $\gamma$ défini sur $]-\varepsilon,\varepsilon[$, à valeurs dans $X$, dérivable en 0, tel que $\gamma(0)=x$, $\gamma'(0)=v$. | Notation $T_xX$ pour l’ensemble des vecteurs tangents à $X$ en $x$. Exemples : sous-espace affine, sphère d’un espace euclidien, graphe d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$. |
Si $g$ est une fonction numérique définie et de classe $\mathscr{C}^1$ sur l’ouvert $\Omega$ de $E$, si $x\in X$ et $\mathrm{d}g(x)\neq0$, alors $T_xX$ est égal au noyau de $\mathrm{d}g(x)$. | La démonstration de cet énoncé et le théorème des fonctions implicites sont hors programme. Traduction en termes de gradient si $E$ est euclidien, en particulier pour $E=\mathbb{R}^n$ muni de sa structure euclidienne canonique. Exemple : plan tangent à une surface de $\mathbb{R}^3$ définie par une équation. |
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