Programme de mathématiques MP, MPI
a) Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie
Rechercher dans cette partie du programme110 exercices
Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sommes partielles. Convergence, divergence. | La série de terme général $u_n$ est notée $\sum u_n$. |
Somme et restes d’une série convergente. | En cas de convergence, notation $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$. |
Linéarité de la somme. | |
Le terme général d’une série convergente tend vers $0$. | Divergence grossière. |
Lien suite-série, séries télescopiques. Série absolument convergente. | |
Une série absolument convergente d’éléments d’un espace vectoriel normé de dimension finie est convergente. | Le critère de Cauchy est hors programme. |
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 605
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 840
Calculer : ...
exo7 841
Calculer : ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...