Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 996
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les vecteurs ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
exo7 998
Soit \(a\in \R .\) On pose, pour tout \(p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p\) et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Pourquoi plusieurs couches ? Le problème XOR
On veut attribuer l’étiquette \(1\) aux points \((1,0)\) et ...
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Une couleur est-elle une nuance de rouge ?
Une couleur est codée par un triplet \((r,g,b)\in[0,1]^3\) (rouge, vert, bleu). Un perceptron à trois entrées de p ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...