Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
d) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dérivée formelle d’un polynôme. | Pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, lien avec la dérivée de la fonction polynomiale associée. |
Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison linéaire, produit. Formule de Leibniz. Formule de Taylor polynomiale. Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs. |
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7341
Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
exo7 7346
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 998
Soit \(a\in \R .\) On pose, pour tout \(p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p\) et ...
Multiplicité d'une racine
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme \[P(X)=X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5\]
En d ...
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Multiplicité et factorisation
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels. Déterminer tous les polynômes de ...
Racine multiple
Montrer que le polynôme \(P(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\frac{X^3}{3 !}+\ldots+\frac{X^n}{n !}\) n’a pas de racine mult ...
Reste de la division de $X^n + X + 1$ par $(X-1)^2$
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + X + 1\). On ...