Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 3 – Calculs de dérivées, de primitives et d’intégrales
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Le but de ce chapitre est de consolider et de compléter la maitrise des règles de dérivation et de quelques techniques de primitivation pour permettre la résolution d’équations différentielles et leur utilisation en sciences physiques.
- a) Calculs de dérivées 39
- b) Calcul des dérivées partielles d’une fonction de deux variables 52
- c) Calculs de primitives 37
- d) Calculs d’intégrales 141
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]
exo7 822
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 823
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[x\cos^2 x\] ...
exo7 824
Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 826
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 827
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : ...
exo7 828
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 829
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 830
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 831
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...
exo7 832
Calculer les primitives suivantes.
exo7 833
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 834
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...
exo7 835
Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
exo7 838
Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
Limite d’une somme de Riemann
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}\).
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Primitives de fonctions
Déterminer toutes les primitives de \(f(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\).
Primitives de fonctions rationnelles
Calculer \(I_1=\displaystyle\int \frac{1}{x^2+1}\,dx\).
Primitives de fonctions rationnelles
L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de \(x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) ...
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Étude d'une rétropropagation
On considère le réseau de neurones à deux couches suivant où la fonction d’activation de la première couche est ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...