Programme de mathématiques MP, MPI
f) Optimisation : étude au premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Point critique d’une application différentiable. | |
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local en un point intérieur. | Exemples de recherches d’extremums globaux. |
Si $f$ est une fonction numérique définie sur l’ouvert $\Omega$, si $X$ est une partie de $\Omega$, si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$ et si $f$ est différentiable en $x$, alors $\mathrm{d}f(x)$ s’annule en tout vecteur tangent à $X$ en $x$. | |
Théorème d’optimisation sous une contrainte : si $f$ et $g$ sont des fonctions numériques définies et de classe $\mathscr{C}^1$ sur l’ouvert $\Omega$ de $E$, si $X$ est l’ensemble des zéros de $g$, si $x\in X$ et $\mathrm{d}g(x)\neq0$ et si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$, alors $\mathrm{d}f(x)$ est colinéaire à $\mathrm{d}g(x)$. | Si $E$ est euclidien, traduction en termes de gradient. Exemples de recherches d’extremums sous contrainte. |
Optimisation sous contrainte (1)
Nous allons ici étudier, pas à pas, la résolution d’une question d’optimisation sous-contraintes. Nous souhaitons déterminer le maximum de la fonct ...
Optimisation sous contrainte (2)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. En réutilisant la méthode ...
Optimisation sous contrainte (4)
En vous aidant de la méthode développée à l’exercice précédent, trouver les extremums de la fonction ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...
Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
On pose \[f(x,y)= x\,(x+1)^2 - y^2.\]