Programme de mathématiques MP, MPI
Séries numériques et vectorielles
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L’objectif de cette section est double :
- consolider les acquis de première année relatifs aux séries numériques, en particulier à travers l’étude de questions de calcul asymptotique ;
- étendre la notion de série convergente au cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie.
Les séries sont avant tout un outil. L’étude des séries semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.
- a) Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie 110
- b) Compléments sur les séries numériques 98
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 840
Calculer : ...
exo7 841
Calculer : ...
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Étude d'une série à termes positifs
Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...