Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convergence simple, convergence uniforme. Une série de fonctions converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et si la suite de ses restes converge uniformément vers $0$. Adaptation des résultats des paragraphes précédents au cas des séries de fonctions. | |
Convergence normale d’une série de fonctions. La convergence normale implique la convergence uniforme. | La convergence normale implique la convergence absolue en tout point. Exemples d’études de fonctions définies comme sommes de séries : régularité, étude asymptotique, utilisation de la comparaison série-intégrale. |
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4591
Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4611
Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5753
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...