Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Équations du second ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Résolution de $ay'' + by' + cy = f(t)$ où $a, b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ et $f$ une fonction continue sur un intervalle : • résolution de l’équation homogène associée, • principe de superposition, • détermination d’une solution particulière. | La résolution de l’équation homogène se fera à l’aide de l’équation caractéristique. On pourra à cette occasion introduire la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ : $t \mapsto e^{\alpha t}$ avec $\alpha \in \mathbb{C}$. ⇌ On peut traiter en exemple l’équation de l’oscillateur harmonique $y'' + \omega^2 y = 0$ dont les solutions sont présentées sous diverses formes ; et par extension aux sciences physiques dériver et chercher une primitive à $t \mapsto e^{\mathrm{i}\omega t}$. |
La forme d’une solution particulière est donnée sauf lorsque $f$ est une fonction constante. Par exemple, lorsque $f$ est de la forme $t \mapsto \sin(\omega t)$ ou $t \mapsto \cos(\omega t)$, l’énoncé devra indiquer de chercher une solution du type $t \mapsto \lambda\sin(\omega t) + \mu\cos(\omega t)$ ou $t \mapsto \lambda t\sin(\omega t) + \mu t\cos(\omega t)$, $\lambda$ et $\mu$ étant à déterminer. |
exo7 863
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- 3y^\prime + 2 y = e^x.\]
exo7 864
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 867
Soit \(m \in \R\). Déterminer la solution de l’équation : ...
exo7 868
On considère l’équation différentielle : \[y''+6y'+9y=d(x) \quad (E)\]
exo7 869
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions ...
exo7 870
Déterminer une équation différentielle admettant \((r-2)^2=0\) comme équation caractéristique et ...
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 872
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E.D.) \quad y''-4y'+4y = d(x),\] où ...
exo7 873
Résoudre sur \(\Rr\) :
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 876
Résoudre en posant \(z (t) = y (e^t)\) ou \(y (-e^t)\) suivant le signe de ...
exo7 877
Résoudre l’équation différentielle de Bernouilli \(x^2y^2-xy'-3y = 0\) en supposant que ...
exo7 878
Résoudre sur \({\Rr }\) : ...
exo7 880
Résoudre : \(y''(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x\).
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
exo7 885
Résoudre par le changement de fonction \(z=\frac{y}{x}\) l’équation différentielle : ...
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.