Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Vocabulaire des ensembles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble, élément, appartenance. | |
Sous-ensemble (ou partie), inclusion. Réunion. Intersection. Complémentaire. | On se limite aux unions et intersections finies. |
Complémentaire d’une union et d’une intersection, distributivité de $\cup$ sur $\cap$ et de $\cap$ sur $\cup$. | Le complémentaire d’une partie $A$ est noté $\overline{A}$. |
Couple, $p$-uplet. Produit cartésien. | Un élément de $E^p$ est aussi appelé une $p$-liste d’éléments de $E$. |
Quantificateurs universel et existentiel. Négation d’une assertion quantifiée. | Ces éléments, présentés dans les classes antérieures, sont repris afin de viser une expression mathématique précise. L’usage des quantificateurs hors des énoncés mathématiques est à proscrire. |
exo7 5105
Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?
exo7 5113
Soient \((A_i)_{i\in I}\) une famille de parties d’un ensemble \(E\) indéxée par ...
exo7 5117
Montrer qu’il existe une injection de \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).
exo7 5985
Si \(30\) personnes sont présentes à un réveillon et si, à minuit, chaque personne fait ...
exo7 7186
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal O\) une partie de ...
exo7 7187
Dans l’ensemble \(\R\), il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un ...
exo7 7188
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal A\) une partie de ...
exo7 7300
Soit \(E\) un ensemble, on note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de ...
exo7 7350
Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...
exo7 7351
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble de ses parties.
La différence symétrique
Soit \(E\) un ensemble. Pour toutes parties \(A\) et ...
Lois de de Morgan et distributivités
Soient \(E\) un ensemble, et \(A,B\) et \(C\) de ...
Non inclusion
Montrer que \(\Z\not \subset \N\), \(\mathbb{D}\not \subset \Z\) et ...
Négation et traducation
Traduire en français, puis écrire la négation des propositions suivantes.
Sur les ensembles de suites
On se place dans \(\R^{\N}\) l’ensemble des suites réelles. On note :
...
Système hexadécimal
Soit \(E=\left \{ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\right\}\) l’ensemble des chiffres du système hexadécimal. On co ...
Unions nous, incluons nous
Expliciter les trois ensembles suivants : ...