Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Indépendance
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Indépendance de deux variables aléatoires. | L’indépendance conditionnelle de variables aléatoires n’est pas un attendu du programme. |
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors $u(X)$ et $v(Y)$ sont indépendantes. | Résultat admis. |
Généralisation : indépendance (mutuelle) de $n$ variables aléatoires. | |
Propriétés de l’indépendance mutuelle : • Si $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont indépendantes, toute sous-famille l’est aussi. | Les résultats sont admis. |
• Lemme des coalitions : si $X_1, X_2, \ldots, X_n, X_{n+1}, \ldots, X_{n+p}$ sont des variables aléatoires indépendantes, alors $u(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ et $v(X_{n+1}, \ldots, X_{n+p})$ sont indépendantes. | On observera que cette propriété peut s’étendre à un nombre fini de fonctions s’appliquant à une partition des variables, et en particulier au cas de $(u_1(X_1), u_2(X_2), \ldots, u_n(X_n))$. |
Couple de variables
Deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contiennent des boules permettant des gains ou des ...
Dilemme
On considère deux avions \(A\) et \(B\) ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les ...
exo7 5989
La probabilité pour une population d’être atteinte d’une maladie \(A\) est \(p\) ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
exo7 5999
Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6910
On lance deux dés à 6 faces. Déterminer la loi de la variable aléatoire donnant le maximum des deux chiffres obtenus.
exo7 6913
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6915
Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
exo7 6937
A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d ...
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
Indépendance de variables aléatoires
Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on note ...
Jeu de boules
Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à ...
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes dont la loi de ...
Loi d'un couple
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes ...
Loi d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires discrètes tel que : l’ensemble des valeurs prises par ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
...Probabilité conditionnelle et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
...Répartition des ressources militaires
Un bataillon militaire dispose de deux types de véhicules : des véhicules blindés (notés \(X\)) et des drones de r ...
Simulation et classement sur tableur
Simuler 200 tirages indépendants avec remise d’un élève parmi 13, chaque élève ayant la même probabilité. Représenter la répartition des résultats. ...
Tirage complet d'une urne
Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de ...
Urnes, boules et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
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