Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Cardinal d’un ensemble fini
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Cardinal d’un ensemble fini. | Notations $\lvert A\rvert$, $\operatorname{Card}(A)$. Tout fondement théorique des notions d’entier naturel et de cardinal est hors programme. |
Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité. Une application entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. | |
Opérations sur les cardinaux : union disjointe ou quelconque, complémentaire, différence, produit cartésien. Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un autre. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini. | La formule du crible est hors programme. |
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Soit \(f\) une application injective de \(\Nn\) dans ...
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(***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité \(\sum_{}^{}C_n^{2k}=\sum_{}^{}C_n^{2k+1}\) ou encore d ...
exo7 5281
Combien y a-t-il de nombres de \(5\) chiffres où \(0\) figure une fois et une seu ...
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5287
Combien y a-t-il de surjections de \(\{1,...,n+1\}\) sur \(\{1,...,n\}\) ?
exo7 5288
Soit \((P)\) un polygone convexe à \(n\) sommets. Combien ce polygone a-t-il de d ...
exo7 5290
Soit \(P_n^k\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments en ...
exo7 7186
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal O\) une partie de ...
exo7 7187
Dans l’ensemble \(\R\), il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un ...
exo7 7188
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal A\) une partie de ...
exo7 7190
Soit \(E\) un ensemble fini, de cardinal \(n\). Combien de relations binaires y a ...
exo7 7192
Soit \(E\) un ensemble fini et \(f : E\to E\) une involution, c’est-à-dire une ap ...
exo7 7358
Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...