Programme de mathématiques PSI
f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Extremum local, global. Point critique d’une application de classe $\mathscr{C}^1$. Si une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ admet un extremum local en un point $a$, alors $a$ est un point critique. | |
Si $f$ est une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ et $a$ un point critique de $f$ : – si $H_f(a) \in \mathscr{S}_p^{++}(\mathbb{R})$, alors $f$ atteint un minimum local strict en $a$ ; – si $H_f(a) \notin \mathscr{S}_p^{+}(\mathbb{R})$, alors $f$ n’a pas de minimum en $a$. | Adaptation à l’étude d’un maximum local. Explicitation pour $p = 2$ (trace et déterminant). |
Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie de $\mathbb{R}^p$. |
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...