Programme de mathématiques MP, MPI
h) Optimisation : étude au second ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Matrice hessienne en un point d’une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, à valeurs réelles. | Notation $H_f(x)$. |
Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 : $\displaystyle f(x+h)\underset{h\to0}{=}f(x)+\langle\nabla f(x),h\rangle+\frac{1}{2}\langle H_f(x)\cdot h,h\rangle+o(\lVert h\rVert^2),$ $\displaystyle f(x+h)\underset{h\to0}{=}f(x)+\nabla f(x)^\top h+\frac{1}{2}h^\top H_f(x)h+o(\lVert h\rVert^2).$ | La démonstration n’est pas exigible. |
Si $f$ est une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et si $f$ admet un minimum local en $x$, alors $x$ est point critique de $f$ et $H_f(x)\in\mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$. | Adaptation au cas d’un maximum local. |
Si $f$ est une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, si $x$ est point critique de $f$ et si $H_f(x)\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $f$ atteint un minimum local strict en $x$. | Adaptation au cas d’un maximum local. Explicitation pour $n=2$ (trace et déterminant). |
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimisation sous contrainte (3)
A présent, nous allons introduire un outil permettant d’aller plus vite dans la résolution de ces problèmes: le Lagrangien. Si l’on souhaite étudie ...
Optimisation sous contrainte (4)
En vous aidant de la méthode développée à l’exercice précédent, trouver les extremums de la fonction ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...