Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Dérivées partielles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0, y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k + o(\lVert (h, k)\rVert).$ | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ et l’interprétation de $\displaystyle z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0, y_0)$ à la surface d’équation $z = f(x, y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0, y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
Lire une vallée quadratique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Minimum global d'une forme quadratique affine
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...
Quand une ReLU bloque l'apprentissage
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et une sortie linéaire : ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Rétropropagation à une variable
Vous allez travailler avec un réseau de neurones à une couche cachée, conçu pour effectuer une tâche de prédiction simple.
Descripti ...
Solution d'une EDP
Soient deux fonctions \(g,h\) d’une variable réelle, de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f: \R^2 \to \R\), ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude d'une rétropropagation
On considère le réseau de neurones à deux couches suivant où la fonction d’activation de la première couche est ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la différentiabilité de $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
On pose \[f(x,y)= x\,(x+1)^2 - y^2.\]