Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Extremums
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Maximum et minimum, local ou global d’une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}^2$. | |
Point critique. Tout extremum local d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ est un point critique. | Exemples d’étude de points critiques. |
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Identification de graphes de fonctions
Un élève a collecté les graphes de fonctions des exercices précédents mais ne se souvient plus à quel exercice correspond chaque graphe. Pour chacu ...
Lire une vallée quadratique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Minimum global d'une forme quadratique affine
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...
Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
On pose \[f(x,y)= x\,(x+1)^2 - y^2.\]