Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 985
Vrai ou faux ? On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimensi ...
exo7 986
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
exo7 987
Dans \(\mathbb{R}^3\), les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent ...
exo7 988
Dans \(\mathbb{R}^3\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 990
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 993
Dans l’espace vectoriel \(\mathcal{P}_2\) des polynômes de degré \(\leq 2\), on c ...
exo7 994
Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...
exo7 995
Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), ...
exo7 996
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les vecteurs ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
exo7 998
Soit \(a\in \R .\) On pose, pour tout \(p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p\) et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...