Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
a) Sommes et produits
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme et produit d’une famille finie de nombres réels. | Notations $\sum\limits_{i\in I} a_i$, $\sum\limits_{i=1}^{n} a_i$, $\prod\limits_{i\in I} a_i$, $\prod\limits_{i=1}^{n} a_i$. Cas où $I$ est vide. |
Sommes et produits télescopiques, exemples de changements d’indices et de regroupements de termes. Expressions simplifiées de $\sum\limits_{k=1}^{n} k$, $\sum\limits_{k=1}^{n} k^2$, $\sum\limits_{k=0}^{n} x^k$. Factorisation de $a^n-b^n$ par $a-b$. | Dans la pratique, on est libre de présenter les calculs avec des points de suspension. |
Sommes doubles. Produit de deux sommes finies. | Exemples de sommes triangulaires. |
Rappels sur la factorielle, les coefficients binomiaux. Formule du binôme dans $\mathbb{R}$. | Convention $\dbinom{n}{k}=0$ pour $k<0$ et $k>n$. |
exo7 5162
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}\) (remarquer que si ...
exo7 5215
Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), ...
exo7 5223
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 5224
Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).
exo7 5280
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers \(x_i\geq0\) de l’équation ...
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5289
On donne \(n\) droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient c ...
exo7 5294
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose \((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\) où ...
exo7 5305
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) : ...
exo7 5306
Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...
exo7 563
Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6976
Soit \(x\) un réel fixé. Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 7011
Montrer \(\forall n \in \N,\: \sum_{k=0}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).
exo7 7017
Montrer que pour tout \(n\in \N\), la somme des \(n\) premiers entiers positifs i ...
exo7 7040
On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...
exo7 7174
Soient \(a_1\), ... \(a_n\) des réels strictement positifs et ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 761
Calculer pour \((n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}\) : ...
exo7 767
Calculer les sommes ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]
Factorielles
Les questions suivantes sont indépendantes :
Formule de Koenig-Huygens
Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des réels. On note ...
Formule du binôme
Calculer ...
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soient ...
Premiers calculs
Soient \(x\) un réel, et \(0\leq p\leq n\) des entiers. Déterminer ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Retour de l'inégalité de Bernoulli
Montrer, sans récurrence, l’inégalité de Bernoulli dans le cas où \(q\ge 0\) : ...
Récurrences
Démontrer par récurrence les résultats suivants :
Réécriture
Réécrire les sommes suivantes à l’aide du symbole \(\sum\) :
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Un autre produit
Exprimer le produit suivant à l’aide de factorielles : \[\prod_{k=1}^n \left(\frac12 -k\right)\]
Un autre produit
Exprimer le produit suivant à l’aide de factorielles : \[\prod_{k=1}^n \left(\frac12 -k\right)\]
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...
Une somme plus difficile
Soit \(n\) un entier naturel non nul.