Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 1– Suites réelles usuelles
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Le but de ce chapitre est d’étendre un peu l’ensemble des suites « connues » et de développer les aptitudes au calcul sur ces suites ; le point de vue est ici algébrique.
On ne travaille ici qu’avec des suites réelles.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme, produit, quotient de suites réelles. | |
Suites arithmétiques, suites géométriques. Terme général. | |
Suites arithmético-géométriques. | La formule donnant le terme général n’est pas au programme. On cherchera une suite constante solution pour déterminer toutes les solutions. |
Suites vérifiant une relation du type $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$. | On se limite à la maitrise d’une méthode de calcul du $n$-ième terme à partir de l’équation caractéristique. Au besoin, on transite par $\mathbb{C}$ dans le seul but de restituer plus rapidement la forme des solutions. ⇌ On pourra illustrer ces différents types de suites avec des modèles discrets de populations. ⇌ Algorithme de calcul du $n$-ième terme. |
exo7 5230
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) les sui ...
exo7 5239
Déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\) et de ses premiers termes dans chacun des ...
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 5302
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...
exo7 5306
Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 562
Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence ...
exo7 568
Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 575
Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...
exo7 5757
On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...
exo7 7014
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...
exo7 7015
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...
exo7 7021
Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...
exo7 7042
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=2\), ...
exo7 7043
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
Expressions en fonction de $n$
Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour les suites suivantes ...
Justifications
Les suites suivantes sont elles arithmétiques ? géométriques ?
La cellule LSTM à la main
Une cellule LSTM maintient deux vecteurs d’état : la cell state \(c_t \in \mathbb{R}\) et l’état caché ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]