Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Variables aléatoires admettant une densité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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On appelle densité de probabilité une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, positive, dont l’intégrale généralisée sur $\mathbb{R}$ converge et vaut 1. | Dans le cadre du programme, l’intégrale généralisée n’est définie que pour des fonctions continues sauf éventuellement en un nombre fini de points. |
On dit qu’une variable aléatoire réelle $X$ est à densité s’il existe une densité de probabilité $f$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$. | Une telle fonction, qui n’est pas unique, est appelée densité de $X$. |
$F_X$ est dérivable en tout point de continuité $x$ de $f$ et $F_X'(x)=f(x)$ | Ce résultat peut être admis. Dans ce contexte, donner la loi d’une variable aléatoire $X$, c’est justifier que $X$ admet une densité et en donner une. |
Si $f$ est une densité de probabilité, alors il existe une variable aléatoire $X$ dont $f$ est une densité. | Résultat admis. |
$X$ admet une densité si, et seulement si, sa fonction de répartition $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. | Ce résultat peut être admis. On insistera sur les représentations graphiques de la fonction de densité et de la fonction de répartition, en faisant le lien avec les histogrammes de variables aléatoires finies. Les étudiants doivent savoir déterminer la loi d’une variable aléatoire à partir de sa fonction de répartition. Sur des exemples simples, recherche de la loi de $u(X)$, $X$ ayant une densité donnée. |
Calcul avec une densité de probabilité
Soit la fonction densité de probabilité \(f\) définie sur l’intervalle \([0, 2]\) ...
Calcul de probabilité
Soit une fonction ...
Changement de variable
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue dont la densité est donnée par ...
Changement de variable aléatoire
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). ...
Changement de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue dont la densité est donnée par ...
Comparaison de probabilités
Si l’on tire un réel au hasard dans \([0,1]\), est-il plus probable d’avoir sa racine carrée inférieure à ...
Densité conjointe sur le carré unité
Soit \(a\in\mathbb{R}\) et \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires admettant ...
Densité d'une somme
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Densité de probabilité
Soit la fonction \(f=\frac{1}{3}\textbf{1}_{[-1;2]}\).
Densité de probabilité et variable aléatoire continue
On considère la fonction ...
Densité et fonction de répartition d'une variable aléatoire
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : ...
Densité et transformation affine
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue admettant pour densité ...
Densité, fonction de répartition
On considère la fonction \(f\) définie par : ...
Distribution de Gumbel et les fonctions de répartition
Soient \(g\) et \(G\) deux fonctions définies pour tout ...
Distribution normale
Une unité militaire prévoit le rassemblement de 1 400 soldats pour une cérémonie officielle. Les portes de l’enceinte ouvrent une demi-heure avant ...
Durée de vie
Une machine est composée de trois alternateurs indépendants. La durée de vie de \(T\) de chaque alternateur suit u ...
Durée de vie d'un émetteur récepteur
Une unité de communication militaire est composée de trois émetteurs-récepteurs indépendants. La durée de vie ...
Durée de vie de capteurs
Une usine fabrique des capteurs de température et d’humidité destinés à des stations météorologiques. Chaque capteur est composé de deux modules in ...
Démonstrations de cours pour la loi normale
Soit \(X\) une variable aléatoire dont la loi est déterminée par la fonction densité définie pour tout ...
Etude d'une loi de probabilité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par ...
Etude d'une variable aléatoire à densité
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue de densité \(f\) définie su ...
exo7 6014
Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm. Les erreurs d’usinage provoquent des variations de diamètre. On estime, sur les données antérieures, ...
exo7 6925
Soit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme de den ...
exo7 6938
Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires réelles indépendantes ayant des lo ...
exo7 6939
Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponenti ...
exo7 6940
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) et ...
File d'attente
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire ...
Files d'attente
On considère deux files d’attente indépendantes. Deux personnes arrivent simultanément et se présentent respectivement aux deux files d’attente. On ...
Files d'attente
Dans un camp militaire, deux unités médicales indépendantes sont disponibles pour soigner les soldats blessés. Deux soldats arrivent simultanément ...
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Fonctions de répartition et changement de variable
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). On rapp ...
Fonctions de répartition et changement de variable
Soit \(f\) une fonction réelle définie par ...
Loi d'un min ou max
Soit \(X_1,..,X_n\) des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une même loi exponentielle ...
Loi d'une somme de variables aléatoires, question de cours
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Loi de Cauchy
Soit \(f\) une fonction définie pour tout \(x \in \R\) par ...
Loi de Gumbel
Soit \(X_1,\,\cdots,X_n\) des v.a. indépendantes et de même loi \(X\), de densité ...
Loi de Pareto
Soient trois réels \(\alpha,a,x_0\) avec \(a>0\). On dit qu’une variable aléat ...
Loi log-normale
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi normale quelconque ...
Loi log-normale
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ...
Loi uniforme, max, min, stratégie
Etant donnés trois nombres réels dans l’intervalle \([0;1]\), on définit deux stratégies :
- Stratégie ...
Loi à densité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Min et Max
Soit \(X_1,..,X_n\) des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une même loi exponentielle ...
Propriété des fonctions de répartition
Soit la fonction \(F\) définie pour tout \(x\) réel par ...
Simulation d'une loi de Pareto
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On considère la fonction ...
Simulation d'une loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\) e ...
Simulation de loi : Rademacher, Laplace, Géométrique
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rad ...
Simulation et fonction de répartition
Soit \(X\) une variable aléatoire et soit \(F\) sa fonction de répartition. On su ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...