Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application différentiable au point $a$. | Notation $o(h)$. Développement limité à l’ordre 1. Lorsque $f=(f_1,\dots,f_p)$, $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si toutes les $f_i$ le sont. |
Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ et dérivable en $a$ selon tout vecteur. | |
Différentielle de $f$ en $a$, encore appelée application linéaire tangente à $f$ en $a$. Unicité de la différentielle et relation $\mathrm{d}f(a)\cdot v=\mathrm{D}_vf(a)$. | Notation $\mathrm{d}f(a)$. |
Application différentiable sur un ouvert $\Omega$. Différentielle sur $\Omega$. | Notation $\mathrm{d}f$. |
Cas particuliers : application constante, application linéaire. | |
Lien entre différentielle et dérivées partielles. | Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et si $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^m$, la matrice jacobienne de $f$ en $a$ est la matrice de $\mathrm{d}f(a)$ dans les bases canoniques. |
Cas des fonctions d’une variable : si $\Omega$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, la différentiabilité de $f$ en $a$ équivaut à la dérivabilité de $f$ en $a$ ; relation $f'(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot1$. | |
Si l’espace $E$ est euclidien, gradient en $a$ d’une application numérique différentiable en $a$. Expression du gradient en base orthonormée. | Notation $\nabla f(a)$. Interprétation géométrique : si $\nabla f(a)\neq0$, $\nabla f(a)$ est positivement colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de $f$ en $a$ est maximale. |
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6330
Soit \(f:\Rr^2\to R\), de classe \(C^2\), et ...
exo7 6362
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) d’un ouvert ...
exo7 6367
Soit \(f\) une application \(C^1\) et bornée de ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6779
Soit \(\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3\) la carte de la sphère \(S^2\) donné ...
exo7 6794
Soit \(f:\Rr^4 \to \Rr^2\) défini par ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6839
Soit \(O \subset \Rr^n\) un ouvert et \(f:O \to \Rr^p\) une fonction. Supposons q ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6846
Soit \(U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}\) et soit \(Y:U \to \Rr^2\) le champ ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6880
On donne le champ vectoriel \[\vec{V}(x,y,z)=(y^2\cos x, 2y\sin x+e^{2z},2y e^{2z}).\]
exo7 7664
La restriction à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2-6x=-5\) de la fonction ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Fonctions périodiques
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Étude de la différentiabilité de $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...