Programme de mathématiques MP, MPI
e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est triangulaire. | Interprétation géométrique. |
Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. | Interprétation en termes d’endomorphisme. La pratique de la trigonalisation n’est pas un objectif du programme. |
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé. | Traduction matricielle. Expression à l’aide des valeurs propres de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable. |
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1591
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3620
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...