Programme de mathématiques PSI
g) Espaces vectoriels normés de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équivalence des normes en dimension finie. | La démonstration est hors programme. La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base. |
Théorème des bornes atteintes : toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes. | La démonstration est hors programme. |
Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales. | La notion de norme subordonnée est hors programme. Exemples du déterminant, du produit matriciel. |
exo7 1771
Soit \(\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}\) une suite d’ensembles fermés bornés de ...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4750
Soit \((A_n)\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_p(\R)\) vérifi ...
exo7 4753
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une ma ...
exo7 4778
Soit \(E\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
exo7 4780
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4797
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to E\) une fonction ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 5860
Soit \(N\) une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...