Programme de mathématiques PT
d) Endomorphismes et matrices trigonalisables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. | |
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé. | La démonstration est hors programme. Traduction matricielle. |
Toute matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable. | Aucune technique de trigonalisation effective n’est au programme. Expressions du déterminant et de la trace d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable en fonction de ses valeurs propres. |
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1591
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3620
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...