Programme de mathématiques MP, MPI
Équations différentielles linéaires
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
La notion générale d’équation différentielle linéaire est introduite à partir des exemples étudiés en première année : équation scalaire d’ordre 1, équation scalaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
La pratique de la résolution explicite des systèmes linéaires à coefficients constants n’est pas un objectif du programme. On limite en conséquence la technicité des exercices sur ce point. On peut en revanche présenter aux étudiants divers exemples d’études qualitatives d’équations différentielles linéaires scalaires ou de systèmes linéaires. Concernant les systèmes à coefficients constants, on pourra souligner le rôle du signe des parties réelles des valeurs propres de la matrice ; on pourra également, en dimension 2, représenter les courbes intégrales.
Dans cette section, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $E$ un espace normé de dimension finie.
- a) Généralités 48
- b) Solutions d’une équation différentielle linéaire 80
- c) Exponentielle d’un endomorphisme, d’une matrice 32
- d) Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants 22
- e) Variation des constantes 15
exo7 6325
Soit l’équation différentielle ...
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6328
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) sur un ouvert ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 6332
Soit \(f\) une application \(K\)-lipschitzienne sur un ouvert ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6337
On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants ...
exo7 6338
Soit \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 6341
Trouver la solution générale de l’équation \(y^{(4)}+y=0\) sous forme réelle. On admet que la fonction ...
exo7 6342
Résoudre le système ...
exo7 6343
Soit le système ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6346
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6349
Trouver les solutions du système \(x' = -y\), ...
exo7 6351
Soit \(A\in M(4,\Rr)\) semi-simple, et soient \(\pm ai\), ...
exo7 6352
Si \(A\) est nilpotente, quelle est la forme des solutions de l’équation ...
exo7 6354
Trouver toutes les solutions périodiques de l’équation \(x^{(4)} + 2x'' + x = 0\).
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6357
On considère les équations ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6366
Soit \(f\in C^1 (\Rr \times \Rr^n , \Rr^n )\) une application bornée et soit ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6809
Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coef ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6829
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2,xy)\).
exo7 6841
Soit \(A\in M(n,\Rr)\) une matrice de taille \(n\times n\) à coefficients dans ...
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6846
Soit \(U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}\) et soit \(Y:U \to \Rr^2\) le champ ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 6999
Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
exo7 853
Résoudre le système différentiel : ...
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 864
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 880
Résoudre : \(y''(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x\).