Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
g) Exponentielle complexe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition de $\mathrm{e}^z$ pour $z$ complexe : $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{\operatorname{Re}(z)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\operatorname{Im}(z)}$. Exponentielle d’une somme. Pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}$, $\exp(z) = \exp(z')$ si et seulement si $z - z' \in 2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}$. Résolution de l’équation $\exp(z) = a$. | Notations $\exp(z)$, $\mathrm{e}^z$. Module et arguments de $\mathrm{e}^z$. |
exo7 13
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...
exo7 1334
Soit \(\lambda\in\Cc\) fixé. Montrer que ...
exo7 1835
Déterminer \(\max\limits_{\left| z\right| \leq 1}\left| \sin z\right| .\) On rappelle que : ...
exo7 197
Si \(z=x+iy\), \((x,y)\in \Rr^2\), on pose ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 26
Résoudre l’équation \(\exp (z) = \sqrt{3} + 3i\).
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 4260
Soit \({f} : {\R} \to {\C}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), ...
exo7 4403
Quels sont les complexes \(z\) tels que \(\cos z \in {[-1,1]}\) ?
exo7 4404
Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...
exo7 4406
Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...
exo7 4409
Résoudre dans \(\C\) :
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 5122
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...
exo7 5136
Pour \(z\in\Cc\), on pose \(\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\), ...
exo7 5853
Soit \(z\) un nombre complexe. Déterminer ...
exo7 6661
Soit \(w\) dans \(\C\). Déterminer les nombres complexes ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...
exo7 7520
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux nombres réels. En utilisant les formules ...
exo7 7549
Trouver la valeur minimale de \(\vert f(z) \vert\) où \(f(z) = e^{z^{2}}\) sur le ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...
exo7 7597
Trouver toutes les solutions complexes de l’équation \(\cosh(z)=4i\).
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.