Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Limites
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Limite d’une fonction en un point. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, \alpha)$ est présentée, mais les détails techniques ne sont pas un attendu du programme. |
Limite à droite, limite à gauche. Limite en $+\infty$ ou $-\infty$. Si $(u_n)$ tend vers $a$ et si la limite de $f$ en $a$ est $b$, alors la suite $(f(u_n))$ tend vers $b$. Opérations sur les limites. Limite de fonctions composées. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une fonction de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème dit « des gendarmes » et extension aux limites infinies. Théorème de la limite monotone. | Une fonction monotone sur un intervalle ouvert admet une limite finie ou infinie aux bornes de l’intervalle. |
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 637
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 663
Soit \(f\) uniformément continue sur \({\Rr}^{+}\) telle que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 670
Soit \(f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R\) telle que ...
exo7 672
Etudier la continuité de \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 678
Étudier la continuité sur \(\Rr\) des fonctions suivantes :
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...