Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Projection orthogonale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Orthogonal $F^\perp$ d’un sous-espace vectoriel $F$ de $\mathbb{R}^n$. | |
L’ensemble $F^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}^n$, il existe un unique couple $(x_F,x_{F^\perp})\in F\times F^\perp$ vérifiant $x=x_F+x_{F^\perp}$. | On rappelle que les notions générales de sommes de sous-espaces vectoriels et de projections ne sont pas au programme. On admet qu’il existe une base orthonormale du sous-espace $F$ dès que $F$ n’est pas réduit au vecteur nul. |
On appelle projection orthogonale sur le sous-espace $F$ de $\mathbb{R}^n$ l’application $p$ qui à tout $x\in\mathbb{R}^n$ associe $x_F$. La projection orthogonale sur le sous-espace $F$ est l’endomorphisme $p$ de $\mathbb{R}^n$ vérifiant $p\circ p=p$, $\mathrm{Im}(p)=F$ et $\mathrm{Ker}(p)=F^\perp$. Relation $\dim F+\dim F^\perp=n$. | Écriture du projeté orthogonal d’un vecteur de $\mathbb{R}^n$ dans une base orthonormale de $F$. |
Distance entre deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$. Définition de la distance d’un vecteur à une partie non vide de $\mathbb{R}^n$. Cas de la distance d’un vecteur à un sous-espace de $\mathbb{R}^n$. | |
Interprétation en termes de projection orthogonale. | Interprétation de l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés en termes de projection sur un sous-espace de dimension 2. La démonstration n’est pas exigible. Les coefficients de la droite de meilleure approximation au sens des moindres carrés devront être rappelés. |
exo7 1477
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\R^{3}\) de la projection orthogonale sur le plan d’équation ...
exo7 1478
Dans \(\R^{3}\) muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d’équatio ...
exo7 1480
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace ...
exo7 1483
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace ...
exo7 1485
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{4}\) de la projection orthogonale sur ...
exo7 1487
Soit \(\left(E,\;|\;\right)\) un espace vectoriel de dimension \(n\).
exo7 1488
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(F\) et ...
exo7 1490
Soit \(E\) un espace euclidien (de dimension finie), \(F\) et ...
exo7 1507
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien, \(x_{0}\) un point de ...
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2461
Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit ...
exo7 3665
On munit \(E = \R_n[X]\) du produit scalaire : Pour \(P = \sum_i a_iX^i\) et ...
exo7 3666
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension 4, ...
exo7 3670
Soient \(F\), \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3737
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3741
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 4960
Trouver les coordonnées des projetés du point \(C(3,4,-2)\) sur les droites définies par les équations :
...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5792
On munit \(E =\mathcal{M}_3(\Rr)\) muni du produit scalaire usuel.
exo7 5803
Soit \(P\) le plan de \(\Rr^4\) d’équations ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7442
On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de ...