Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) PGCD et algorithme d’Euclide
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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PGCD de deux entiers naturels dont l’un au moins est non nul. | Notation $a \wedge b$. Le PGCD de $a$ et $b$ est défini comme étant le plus grand élément (pour l’ordre naturel dans $\mathbb{N}$) de l’ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$. |
Algorithme d’Euclide. | L’ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ est égal à l’ensemble des diviseurs de $a \wedge b$. $a \wedge b$ est le plus grand élément (au sens de la divisibilité) de l’ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$. Pour $k \in \mathbb{N}^*$, PGCD de $ka$ et $kb$. |
Extension au cas de deux entiers relatifs. | |
Relation de Bézout. | Détermination d’un couple de Bézout par l’algorithme d’Euclide étendu. |
PPCM. | Notation $a \vee b$. |
exo7 318
Supposons \(\mbox{pgcd}(a,b)=d\) et soit \(x_{0}\) et ...
exo7 319
Soit \(a\), \(b\), \(c\) des entiers.
exo7 3209
Soient \(m,n \in \N^*\). Chercher pgcd\(( X^n-1,X^m-1)\).
exo7 321
Trouver deux nombres sachant que leur somme est \(581\) et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est ...
exo7 322
Trouver les solutions entières de l’équation : \[102x-18018y=18.\] Combien y a-t-il de solutions telles que ...
exo7 323
Le pgcd de deux nombres est \(12\) ; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l’algorithme d ...
exo7 324
Trouver les couples de nombres \(a\) et \(b\), divisibles par ...
exo7 325
Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres \(a\) et \(b\) sont des no ...
exo7 327
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations suivantes :
exo7 328
Résoudre dans \(\mathbb{N}\) les équations suivantes :
exo7 329
Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l’équation \(77x+105y=2401\).
exo7 330
Dans un pays nommé ASU, dont l’unité monétaire est le rallod, la banque nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rall ...
exo7 331
Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d’équation \(6x+10y+15z=1997\). Combien y a-t-il de solutio ...
exo7 335
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers relatifs. On note ...
exo7 336
Soient \(a,b\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1\). Montrer :
exo7 338
Résoudre l’équation \(29x-11y=1\) dans \(\Zz\).
On considère maintenant l’ ...
exo7 3388
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que \(M \in GL_n(\Z)\) si et seulement ...
exo7 342
Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...
exo7 344
Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux.
exo7 390
Trouver le pgcd de \(X^{24}-1\) et \(X^{15}-1\) ; le pgcd de ...
exo7 5294
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose \((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\) où ...
exo7 5299
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) les équations ou systèmes d’équations suivants :
...
exo7 5301
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(F_n=2^{2^n}+1\) (nombres de F ...
exo7 5302
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...
exo7 5303
On veut résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(x^2+y^2=z^2\) (de tels triplets d’en ...
exo7 5312
Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Montrer que : ...
exo7 6523
Montrer que deux congruences dans \(\Z\) de la forme ...
exo7 7294
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...
exo7 7295
Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).
exo7 7320
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(d\) un diviseur de ...
exo7 7334
Le nombre \(101\) est-il premier ? Peut-il s’écrire comme somme de deux carrés.
exo7 7335
Quelle identité obtient-on quand on écrit que la norme de \((a+ib)(c+id)\) dans ...
exo7 7361
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7370
L’entier \(-1601\) est-il un représentant de la classe \([-7387]_{ 2893}\) de ...
exo7 7390
On admet \(281\) est un nombre premier.
exo7 7407
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).