Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Théorème des séries alternées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si la suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge en décroissant vers 0, $\sum (-1)^n u_n$ converge. | Signe et majoration en valeur absolue de la somme, des restes. |
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Domaine de convergence de séries sentières
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1931
Soit \(S= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \displaystyle{\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}}\). Donner une valeur approchée ...
exo7 1945
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4429
On pose \(u_n = \sum_{k=n}^\infty \frac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\). Étudier la convergence de la série ...
exo7 4434
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4496
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).
exo7 4499
On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...
exo7 4536
Soit \(u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)\) et ...
exo7 4672
On pose \(u_n = \frac {96\times(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\) et ...
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 5700
Soit \(\alpha\in\Rr\). Nature de la série de terme général ...
exo7 5708
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
Nature de séries
Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...
Séries de signe non constant
Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}\) ?