Programme de mathématiques PSI
f) Continuité sur une partie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Opérations algébriques, composition. | |
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue. | Si $f$ est une application continue de $E$ dans $\mathbb{R}$ alors l’ensemble défini par $f(x) > 0$ est un ouvert et les ensembles définis par $f(x) = 0$ ou $f(x) \geqslant 0$ sont des fermés. |
Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue. |
exo7 2358
Soit \(f\) une fonction réelle continue sur \([0,1]\); montrer que ...
exo7 2558
On considère l’équation \[x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)\] avec condition initiale ...
exo7 2560
Soit \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) donnée par ...
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 3864
Soient \(f : D \to \R\) uniformément continue bornée et \(g : \R \to \R\) continu ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4127
Soient \(y,z\) solutions de ...
exo7 4149
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une isométrie pour la norme \(\|\ \|_2\). ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4525
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant simplement ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 5385
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6332
Soit \(f\) une application \(K\)-lipschitzienne sur un ouvert ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...