Programme de mathématiques PSI
c) Probabilités conditionnelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $P(B) > 0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est définie par la relation $P(A \mid B) = P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. L’application $P_B$ définit une probabilité. Formule des probabilités composées. | |
Formule des probabilités totales. | Si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est un système complet ou quasi-complet d’événements, alors $\displaystyle P(B) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(B \cap A_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(B \mid A_n)P(A_n)$ On rappelle la convention $P(B \mid A_n)P(A_n) = 0$ lorsque $P(A_n) = 0$. |
Formule de Bayes. |
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Amédée, Barnabé, Charles tirent sur un oiseau; si les probabilités de succès sont pour Amédée : \(70\)%, Barnabé : ...
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La probabilité pour une population d’être atteinte d’une maladie \(A\) est \(p\) ...
exo7 5990
Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
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Dans la salle des profs \(60\)% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux port ...
exo7 5993
Une fête réunit \(35\) hommes, \(40\) femmes, ...
exo7 5995
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...
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Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 5997
En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets sec ...
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Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des individus ont les yeux bruns et les che ...
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Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
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On sait qu’à une date donnée, 3% d’une population est atteinte d’hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la pe ...
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Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
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Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6890
Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
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Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
exo7 6896
Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité \(1/2\). Elle ne va pas en cours avec une probabilité ...
exo7 6897
On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu’un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu’un enfant qui ...
exo7 6898
Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20\(\%\) des ampoules de l’usine A et 5 ...
exo7 6899
Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
exo7 6900
Il y a \(5\%\) de daltoniens chez les hommes et \(0,25\%\) chez les femmes. Il y ...
exo7 6901
Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6907
Un standard téléphonique reçoit en moyenne 2 appels par minute. Les appels sont répartis au hasard dans le temps.
exo7 6912
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \(Z=(X,Y)\), avec ...
exo7 6913
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6915
Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6932
On effectue un sondage sur un échantillon de 10 000 personnes à la veille d’un référendum : 4903 d’entre elles s’apprêtent à voter oui, et 5097 à v ...
exo7 6937
A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d ...
exo7 6942
Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Montrer que ...
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Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
exo7 6946
Soit \(N\) et \((X_n)_{n\geq 1}\) des variables aléatoires indépendantes intégrab ...
exo7 6947
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
exo7 6949
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Cal ...
Loi d'un couple
On considère un fast food muni de \(N\) comptoirs. Le nombre de personnes se présentant en une heure au fast food ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi géométrique
On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...
Probabilité conditionnelle et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
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