Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
c) Produit vectoriel dans l’espace orienté
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires, alors le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{n}$ orthogonal au plan $\operatorname{Vect}(\vec{u},\vec{v})$, de norme $\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert\lvert\sin(\vec{u},\vec{v})\rvert$, tel que $(\vec{u},\vec{v},\vec{n})$ soit une base directe ; sinon le produit vectoriel est le vecteur nul. | Notation $\vec{u}\wedge\vec{v}$. La notion d’orientation de l’espace, reposant sur les conventions physiques usuelles, est admise. Interprétation de $\lVert\vec{u}\wedge\vec{v}\rVert$ comme aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. |
Bilinéarité, antisymétrie, expression dans une base orthonormée directe. Condition de colinéarité de deux vecteurs. | Les démonstrations sont hors programme. |
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5569
Soit \(f_a(x)=|x-a|\) pour \(a\) et \(x\) réels. ...
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5775
On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 6868
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 887
Soit \(\R_+^*\) muni de la loi interne \(\oplus\) définie par ...
exo7 888
Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
...
exo7 890
Déterminer si \({ \Rr}^{2}\), muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un ...
exo7 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
exo7 892
Montrer que l’ensemble ...
exo7 894
On munit \(\Rr^2\) de l’addition usuelle et de la loi externe ...
exo7 912
Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les trois fonctions ...
exo7 916
Soit \(\alpha \in \Rr\) et soit \(f_{\alpha} : \Rr\rightarrow \Rr\) la fonction d ...
exo7 918
Montrer que les familles suivantes sont libres dans \({\Rr}^{{\Rr}},\) et ce quelque soit ...
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.