Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Espérance et variance
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Espérance mathématique $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$, variable aléatoire centrée. $E(\mathbb{1}_A) = P(A)$ et autres propriétés élémentaires de l’espérance. | On démontre que l’espérance est positive (si $X$ est positive) et croissante. La linéarité est énoncée mais la preuve n’est pas exigible. |
Théorème de transfert : calcul de l’espérance de $u(X)$ à partir de la loi de $X$. | Ce résultat peut être admis. |
Moments. Variance $\mathrm{V}(X)$ d’une variable aléatoire $X$. Formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Écart-type $\sigma(X)$ d’une variable aléatoire $X$. $\mathrm{V}(aX + b) = a^2\mathrm{V}(X)$. Variable centrée réduite. | |
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, espérance de $XY$ et variance de $X + Y$. | Le résultat sur l’espérance peut être admis ; on signalera le cas où les variables aléatoires sont des indicatrices d’événements. Généralisation au cas de $n$ variables aléatoires indépendantes. |
Calcul approché de probabilité et loi normale
Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur ...
Calcul de risques
On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale d ...
Dé truqué
On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\) ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
Estimation par inégalité
On sait qu’une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées "citoyens", on détecte ce problème. Sur \(n\) j ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
exo7 245
Soit \(p_{n}(k)\) le nombre de permutations de \(\{1,...,n\}\) ayant ...
exo7 6009
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
exo7 6908
Dans une dictature militaire, le dictateur veut augmenter le nombre de naissances de garçons. Il impose la règle suivante : si une femme donne nais ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6915
Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
exo7 6916
On lance deux dés à 6 faces. Soit \(X_1\) le résultat du premier dé, \(X_2\) le r ...
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6918
Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6920
Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires de même loi, à valeurs dans ...
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Gain au loto
Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros: ...
Indépendance de variables aléatoires
Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on note ...
Introduction à la loi binomiale
Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes dont la loi de ...
Loi d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 3,4,5 et 6.
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Urne et variable aléatoire
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10€, si el ...