Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
d) Nombres premiers
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Nombre premier. L’ensemble des nombres premiers est infini. Existence et unicité de la décomposition d’un entier naturel non nul en produit de nombres premiers. | Crible d’Ératosthène. |
Pour $p$ premier, valuation $p$-adique. | Notation $v_p(n)$. |
Valuation $p$-adique d’un produit. | Caractérisation de la divisibilité en termes de valuations $p$-adiques. Expressions du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations $p$-adiques. |
exo7 405
Soit \(P \in {\Z}[X]\) et \(n \in {\Z}\) ; notons ...
exo7 4486
Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...
exo7 5179
Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...
exo7 5209
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
exo7 5244
Donner un exemple de suite \((u_n)\) divergente, telle que ...
exo7 529
Étudier la suite $(u_n)$ définie par~: $$u_n= \begin{cases} 0 & \text{ si } $n$ \text{ est premier }\cr 67+1/n & \text{ sinon }.\cr \end{cases}$$ ...
exo7 5297
Montrer que si \(p\) est premier et \(8p^2+1\) est premier alors ...
exo7 5299
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) les équations ou systèmes d’équations suivants :
...
exo7 5303
On veut résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(x^2+y^2=z^2\) (de tels triplets d’en ...
exo7 5310
(Formule de Legendre) Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à ...
exo7 5311
Soit \(p\) un nombre premier.
exo7 5321
Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...
exo7 5689
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...
exo7 6479
(Théorème d’Euler) Soit \(n\in \N^*\) et \(a\in \Z^*\) premier avec ...
exo7 6539
Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...
exo7 7312
Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...
exo7 7334
Le nombre \(101\) est-il premier ? Peut-il s’écrire comme somme de deux carrés.
exo7 7335
Quelle identité obtient-on quand on écrit que la norme de \((a+ib)(c+id)\) dans ...
exo7 7377
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7382
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7390
On admet \(281\) est un nombre premier.
exo7 7401
Enoncer le théorème de la division euclidienne dans \(k[X]\).