Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Fonctions usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances. | Dérivée, variations, représentation graphique. Les fonctions puissances sont définies sur $\mathbb{R}_+^*$ et prolongées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur $\mathbb{R}_-^*$. Logarithme décimal, logarithme en base 2. |
Relations $(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$, $x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta$, $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$. Croissances comparées des fonctions logarithme, puissances et exponentielle. Inégalités $\exp(x) \geqslant 1 + x$, $\ln(1 + x) \leqslant x$. | |
Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan. | Dérivée, variations, représentation graphique. |
Fonctions hyperboliques sh, ch, th. | Dérivée, variations, représentation graphique. Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme. La seule formule exigible est $\operatorname{ch}^2(x) - \operatorname{sh}^2(x) = 1$. |
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 635
Calculer : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 6976
Soit \(x\) un réel fixé. Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 6977
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 705
Calculer les dérivées des fonctions :
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 746
Démontrer les inégalités suivantes : \[\Arcsin a < \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{ si } 0<a<1 ;\] ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 748
Tracer les courbes représentatives des fonctions ...
exo7 749
Résoudre les équations suivantes:
exo7 750
Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 752
Vérifier ...
exo7 753
Montrer que \(\dfrac{\pi}4 = 4\arctan (\dfrac 15) - \arctan (\dfrac 1{239})\) (on montrera que ...
exo7 755
Étudier la fonction : \[\phi :x\rightarrow \arcsin \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}+\arccos \frac{2x}{1+x^{2}}.\]
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 761
Calculer pour \((n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}\) : ...
exo7 762
Soit \((a,b)\in\R^2\), résoudre le système ...
exo7 764
Soit \(x\in\R\). On pose \(t=\Arctan(\sh x)\).
exo7 765
Montrer que \(\ch nx\) et \(\sh nx\) peuvent s’exprimer comme polynômes en ...
exo7 766
Exprimer \(\ch^n x\) et \(\sh^n x\) au moyen de ...
exo7 767
Calculer les sommes ...
exo7 771
Résoudre \[x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ;\] ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 775
Montrer que \(\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x\). En déduire un équivalent de ...
exo7 776
Résoudre l’équation \(x^y = y^x\) où \(x\) et ...
exo7 777
Résoudre l’équation \(\tan (3 \arcsin x) = 1\). On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 811
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 833
Calculer les primitives suivantes : ...