Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
d) Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus. | |
Relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\mathbb{R}$. | Notation $a\equiv b\ [2\pi]$. |
Cosinus et sinus de $\pi\pm x$, de $\frac{\pi}{2}\pm x$. Cosinus et sinus des angles usuels. | Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique. |
Formules d’addition $\cos(a\pm b)$, $\sin(a\pm b)$. Cas particulier des formules de duplication : $\cos(2a)$, $\sin(2a)$. | On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapidement les formules donnant $\cos(a)\cos(b)$, $\cos(a)\sin(b)$, $\sin(a)\sin(b)$. |
Fonctions circulaires cosinus et sinus. | On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale. |
Pour $x\in\mathbb{R}$, inégalité $\lvert\sin(x)\rvert\leqslant\lvert x\rvert$. | |
Fonction tangente. | Notation tan. Dérivée, variations, représentation graphique. |
Tangente de $\pi\pm x$. Tangente des angles usuels. Formule d’addition $\tan(a\pm b)$. | Interprétation sur le cercle trigonométrique. |
exo7 1004
Soit ...
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 1122
Calculer ...
exo7 1126
Montrer que ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 1840
Existe-t-il un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donné? Le déterminer par une méthode géométrique.
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 1994
Calculer les angles :
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2089
Calculer les primitives suivantes: ...
exo7 2090
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2318
Sans calculer les intégrales, montrer que \[\int_0^{\pi /2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi /2} \cos^n x dx.\]
exo7 2689
Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,\] ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2704
Épicycloı̈des, hypocycloı̈des -
Soit \(R >0\) un réel, et ...
exo7 2876
Établir la convergence et évaluer les produits infinis suivants: ...
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2955
Résoudre : \(\sum_{k=0}^{n-1}\,\frac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0\).
exo7 2957
Simplifier \[\sum_{k=1}^n\, \frac 1 {2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta}.\]
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3891
Calculer \(\ch(a+b)\), \(\sh(a+b)\), ...
exo7 3892
Soient \(a,b \in \R\) non tous deux nuls.
exo7 3899
Soit \(y \in \left]-\frac \pi2, \frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3905
Résoudre les équations suivantes :
exo7 3906
Résoudre : \(\cos\theta + \cos(\theta + \pi/3) > 0\).
exo7 3907
\(2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta\).
...
exo7 3908
Soient \(\alpha,\beta,\gamma \in \R\) tels que \(\alpha+\beta+\gamma = \pi\).
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 3910
Calculer \(\tan p - \tan q\). En déduire la valeur de ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 3912
Calculer \(\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x\). Simplifier ...
exo7 3913
Soit \(ABCDEFG\) un heptagone (7 côtés) plan régulier. On pose \(\alpha = AB\), ...
exo7 3914
Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...
exo7 3915
Soient \(a,b \in \R\). Simplifier \(\arctan a + \arctan b\).
exo7 3916
Résoudre l’équation : \(\arcsin x = \arccos \frac13 - \arccos \frac14\).
exo7 3917
Soit \(x = \arcsin \frac{1+\sqrt5}4\). Calculer \(\cos 4x\) et en déduire ...
exo7 3918
Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).
exo7 3919
Existe-t-il une fonction \(f : D \to \R\) telle que : ...
exo7 3920
Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).
exo7 3921
Simplifier \(\arccos(\cos x) - \frac 12\arccos(\cos 2x)\) pour ...
exo7 3922
Résoudre : ...
exo7 3923
Simplifier \(\frac x2 - \arcsin\sqrt{\frac{1+\sin x}2}\) pour ...
exo7 3924
Simplifier \(\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))\).