Programme de mathématiques PSI
C - Fonctions de plusieurs variables
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Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ont été introduites en première année. L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de $p \geqslant 2$ variables.
L’étude d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$. Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas $p = 2$ ou $p = 3$.
- a) Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- b) Règle de la chaîne 4
- c) Gradient 103
- d) Applications géométriques 7
- e) Fonctions de classe $\mathscr{C}^2$ 2
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ 17
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6846
Soit \(U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}\) et soit \(Y:U \to \Rr^2\) le champ ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6880
On donne le champ vectoriel \[\vec{V}(x,y,z)=(y^2\cos x, 2y\sin x+e^{2z},2y e^{2z}).\]
exo7 7664
La restriction à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2-6x=-5\) de la fonction ...
exo7 7669
Dans tout l’exercice, \(r\) et \(h\) parcourent ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Fonctions périodiques
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Règle des chaînes
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable.
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude de la différentiabilité de $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...