Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
f) Produit scalaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition du produit scalaire usuel de deux vecteurs à partir de la projection orthogonale. | |
Formulation du produit scalaire à l’aide du cosinus de l’angle formé entre deux vecteurs non nuls. Caractérisation de l’orthogonalité de deux vecteurs par le produit scalaire. | Aucun développement sur la notion d’angle orienté n’est un attendu du programme. On pourra énoncer l’inégalité de Cauchy-Schwarz. |
Propriétés : symétrie, bilinéarité, positivité. Lien avec la norme. | La bilinéarité du produit scalaire pourra être admise. |
Expression du produit scalaire à partir des coordonnées dans une base orthonormée. |
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
exo7 7149
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(C\) soit l’image de ...
exo7 7249
Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7264
Soit \(E\) un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 7266
Soit \(ABC\) un triangle dans un plan euclidien orienté \(E\). On notera ...
exo7 7268
Soit \(\mathcal{T}\) un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 7289
La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7454
Soit \(A\) et \(B\) deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer l ...
exo7 7485
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) trouver la relation entre la longueur ...
exo7 7486
Étant donné un segment de longueur \(a\) contruire un segment de longueur ...
exo7 7505
On munit le plan affine euclidien \((P,<,>)\) d’un repère orthonormé ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...