Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Cas de la dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base. | |
Une application linéaire est un isomorphisme si, et seulement si, l’image d’une base est une base. | Tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{K}^n$. |
Rang d’une application linéaire. | |
Théorème du rang. | Résultat admis. |
Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, il y a équivalence entre l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité. | On soulignera, à travers un exemple, que ce n’est pas le cas en dimension infinie. Toutefois, aucun exemple ne sera exigible des étudiants. |
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Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5575
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimen ...
exo7 5582
Soient \(E\) un espace de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5633
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5634
Rang du système de formes linéaires sur \(\Rr^4\)
...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 937
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 938
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 943
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 944
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 955
\(E\) étant un espace vectoriel de dimension \(n\) sur ...
exo7 963
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 965
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(\varphi\) et ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...