Texte officiel du programme
Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à $t$.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de convergence dominée : soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb{K}$ convergeant simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux et telle qu’il existe une fonction $\varphi$ positive intégrable sur $I$ vérifiant $\lvert f_n\rvert\leqslant\varphi$ pour tout $n$. Alors : $\displaystyle\int_I f_n\longrightarrow\int_I f.$ | La démonstration est hors programme. |
Extension au cas d’une famille à paramètre réel $(f_\lambda)_{\lambda\in J}$ où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. |
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4341
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,d x\). Montrer que ...
exo7 4360
On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4364
Existence et continuité de ...
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4657
Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5724
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à val ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 5946
Soit \(f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})\). Que vaut la limite ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...