Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Matrices équivalentes et rang
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $u \in \mathscr{L}(E, F)$ est de rang $r$, il existe un couple de bases dans lequel $u$ a pour matrice $J_r$. Matrices équivalentes. | La matrice $J_r$ a tous ses coefficients nuls à l’exception des $r$ premiers coefficients diagonaux, égaux à 1. |
Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à $J_r$. Invariance du rang par transposition. Rang d’une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites. | Classification des matrices équivalentes par le rang. |
Les opérations élémentaires sur les colonnes (resp. lignes) conservent l’image (resp. le noyau). Les opérations élémentaires conservent le rang. | Application : calcul du rang. |
exo7 1024
Déterminer suivant la valeur de \(x \in \Rr\) le rang de la famille de vecteurs ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1065
Discuter suivant les valeurs de \(\lambda \in \Rr\) le rang de la matrice ...
exo7 1082
Soit \(h\) une application linéaire de rang \(r\), de ...
exo7 1099
Soient ...
exo7 1102
Même chose avec ...
exo7 1188
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(A\) la ma ...
exo7 1190
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2449
Calculer le rang de la matrice ...
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3351
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\). Déterminer le rang de l’endomorphisme de ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3477
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)\). Chercher ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5269
Déterminer le rang des matrices suivantes :
...
exo7 5585
Soient \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles qu ...
exo7 5596
Soient \(A_1\),..., \(A_p\) \(p\) matrices disti ...
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5622
Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) et \(B\) l’élément de ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5680
Soit ...