Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
c) Probabilités conditionnelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $P(B)>0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est définie par la relation $P(A\mid B)=P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. L’application $P_B$ est une probabilité. | |
Formules des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes. | Par convention, $P(A\mid B)P(B)=0$ lorsque $P(B)=0$. |
Approximation par une loi normale
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Calcul de la fonction softmax et perte entropie croisée
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Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Détection de menaces par radar
Un système de radar militaire est utilisé pour détecter des missiles ennemis. Le radar détecte un missile avec une probabilité de 95%. Le radar déc ...
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Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce ...
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Un QCM comporte \(10\) questions, pour chacune desquelles \(4\) réponses sont pro ...
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Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
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Dans la salle des profs \(60\)% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux port ...
exo7 5993
Une fête réunit \(35\) hommes, \(40\) femmes, ...
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Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...
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Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
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En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets sec ...
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Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des individus ont les yeux bruns et les che ...
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Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
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On sait qu’à une date donnée, 3% d’une population est atteinte d’hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la pe ...
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Dans mon trousseau de clés il y a \(8\) clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé ...
exo7 6002
Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de façon conventionnelle: un homme ave ...
exo7 6004
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6006
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements:
...
exo7 6008
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
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Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
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On lance deux dés à 6 faces. Décrire l’ensemble \(\Omega\) des résultats possibles et la probabilité ...
exo7 6890
Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
exo7 6891
Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte perme ...
exo7 6893
Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
exo7 6894
On tire simultanément 6 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 dames et 3 trèfles ?
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On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu’il y a une proba ...
exo7 6896
Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité \(1/2\). Elle ne va pas en cours avec une probabilité ...
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On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu’un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu’un enfant qui ...
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Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20\(\%\) des ampoules de l’usine A et 5 ...
exo7 6899
Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
exo7 6900
Il y a \(5\%\) de daltoniens chez les hommes et \(0,25\%\) chez les femmes. Il y ...
exo7 6901
Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules ...
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Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
Fiabilité
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de composants électroniques contenant \(2\)% d’éléments défectu ...
Fonctionnement d'une machine
Une usine a besoin de deux machines \(m_1\) et \(m_2\). La probabilité que ...
Indépendance de caractères
Le tableau suivant donne la répartition de 10 000 personnes en fonction de leur groupe sanguin et de leur facteur Rhésus.
Jeu et suite
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Marche aléatoire
On considère un carré ABCD et son centre de gravité O. On note \(\mathcal{E} = \{A,B,C,D,O\}.\). Une puce se dépla ...
Probabilité bayésienne
Un poison vient d’être ingéré par une personne. L’examen des lieux laisse penser que trois poisons \(p_1\), ...
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...Probabilité d'événements
Soit \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\) un espace probabilisé et trois événements ...
Probabilités conditionnelles et indépendance
Une entreprise fabrique des cartes graphiques. Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d’une journée de la façon suivante : l’at ...
Probabilités conditionnelles et prise de décision
Vous êtes un mage perdu dans les marais maudits et une créature des ténèbres arrive. Il vous faut un certain temps pour invoquer un sort d’attaque ...
Problème de clés
Simulation de loi : Rademacher, Laplace, Géométrique
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rad ...